Préparer son devoir sur les nombres complexes, partie Géométrie

Préparer son devoir sur les nombres complexes, partie Géométrie

Dans cet article, je vous expose des exercices pour vous préparer au devoir sur les nombres complexes, partie Algèbre. Dans celui-ci, je vous expose plusieurs exercices tombés au bac S qui vous permettront de vous préparer à la seconde partie de ce chapitre : la géométrie.

Antilles-Guyanne, septembre 2017 (3 points)

Soit la suite de nombres complexes \(\left(z_n\right)\) définie par:$$\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 100\\ z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n \text{ pour tout entier naturel }\:n. \end{array}\right.$$Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\).

Pour tout entier naturel n, on note \(M_n\) le point d’affixe \(z_n\).

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points O, \(M_n\) et \(M_{n+2}\) sont alignés.
  2. On rappelle qu’un disque de centre A et de rayon r, où r est un nombre réel positif, est l’ensemble des points M du plan tels que \(AM \leq r\). Démontrer que, à partir d’un certain rang, tous les points \(M_n\) appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.

Pondichéry 2017 (3 points)

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\) .

  1. On considère l’équation $$(E) :\quad z^2 – 6z + c = 0$$où c est un réel strictement supérieur à 9.
    1. Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
    2. Justifier que les solutions de (E) sont \(z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{c – 9}\) et \(z_{\text{B}} = 3 – \text{i}\sqrt{c – 9}\).
  2. On note A et B les points d’affixes respectives \(z_{\text{A}}\) et \(z_{\text{B}}\). Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.
  3. Démontrer qu’il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.

Liban, mai 2019

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\) d’unité 2 cm. On appelle f la fonction qui, à tout point M, distinct du point O et d’affixe un nombre complexe z, associe le point M’
d’affixe z’ tel que:$$z’ = – \frac{1}{z}.$$

  1. On considère les points A et B d’affixes respectives \(z_{\text{A}} = – 1 + \text{i}\) et \(z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\).
    1. Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point A’ image du point A par la fonction f.
    2. Déterminer la forme exponentielle de l’affixe du point B’ image du point B par la fonction f.
    3. Sur la copie, placer les points A, B, A’ et B’ dans le repère orthonormé. Pour les points B et B’, on laissera les traits de construction apparents.
  2. Soit r un réel strictement positif et \(\theta\) un réel. On considère le complexe z défini par \(z = r\text{e}^{\text{i}\theta}\).
    1. Montrer que \(z’ = \frac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi – \theta)}\).
    2. Est-il vrai que si un point M, distinct de O, appartient au disque de centre O et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre O et de rayon 1, alors son image M’ par la fonction f est à l’extérieur de ce disque ? Justifier.
  3. Soit le cercle \(\Gamma\) de centre K d’affixe \(z_{\text{K}} = -\frac{1}{2}\) et de rayon \(\frac{1}{2}\).
    1. Montrer qu’une équation cartésienne du cercle \(\Gamma\) est \(x^2 + x + y^2 = 0\).
    2. Soit \(z = x + \text{i}y\) avec x et y non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de z’ en fonction de x et y.
    3. Soit M un point, distinct de O, du cercle \(\Gamma\). Montrer que l’image M’ du point M par la fonction f appartient à la droite d’équation x = 1.

Métropole, septembre 2017

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{u},\vec{v})\) . À tout point M d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe:$$z’ = – z^2 + 2z.$$ Le point M’ est appelé image du point M.

  1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :$$ z^2 + 2z – 2 = 0.$$En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe 2.
  2. Soit M un point d’affixe z et M’ son image d’affixe z‘. On note N le point d’affixe \(z_N = z^2\). Montrer que M est le milieu du segment [NM’].
  3. Dans cette question, on suppose que le point M ayant pour affixe z, appartient au cercle \(\mathcal{C}\) de centre O et de rayon 1. On note \(\theta\) un argument de z.
    1. Déterminer le module de chacun des nombres complexes z et \(z_N\), ainsi qu’un argument de \(z_N\) en fonction de \(\theta\).
    2. Sur la figure donnée en annexe (voir fin de l’exercice), on a représenté un point M sur le cercle \(\mathcal{C}\). Construire sur cette figure les points N et M’ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
    3. Soit A le point d’affixe 1. Quelle est la nature du triangle AMM’ ?
Annexe du dernier exercice

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Evariste_Galois1973

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