Dans cet article, je vous expose des exercices pour vous préparer au devoir sur les nombres complexes, partie Algèbre. Dans celui-ci, je vous expose plusieurs exercices tombés au bac S qui vous permettront de vous préparer à la seconde partie de ce chapitre : la géométrie.
Antilles-Guyanne, septembre 2017 (3 points)
Soit la suite de nombres complexes \(\left(z_n\right)\) définie par:$$\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 100\\ z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n \text{ pour tout entier naturel }\:n. \end{array}\right.$$Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\).
Pour tout entier naturel n, on note \(M_n\) le point d’affixe \(z_n\).
- Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points O, \(M_n\) et \(M_{n+2}\) sont alignés.
- On rappelle qu’un disque de centre A et de rayon r, où r est un nombre réel positif, est l’ensemble des points M du plan tels que \(AM \leq r\). Démontrer que, à partir d’un certain rang, tous les points \(M_n\) appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.
Pondichéry 2017 (3 points)
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\) .
- On considère l’équation $$(E) :\quad z^2 – 6z + c = 0$$où c est un réel strictement supérieur à 9.
- Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.
- Justifier que les solutions de (E) sont \(z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{c – 9}\) et \(z_{\text{B}} = 3 – \text{i}\sqrt{c – 9}\).
- On note A et B les points d’affixes respectives \(z_{\text{A}}\) et \(z_{\text{B}}\). Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.
- Démontrer qu’il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur.
Liban, mai 2019
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\) d’unité 2 cm. On appelle f la fonction qui, à tout point M, distinct du point O et d’affixe un nombre complexe z, associe le point M’
d’affixe z’ tel que:$$z’ = – \frac{1}{z}.$$
- On considère les points A et B d’affixes respectives \(z_{\text{A}} = – 1 + \text{i}\) et \(z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\).
- Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point A’ image du point A par la fonction f.
- Déterminer la forme exponentielle de l’affixe du point B’ image du point B par la fonction f.
- Sur la copie, placer les points A, B, A’ et B’ dans le repère orthonormé. Pour les points B et B’, on laissera les traits de construction apparents.
- Soit r un réel strictement positif et \(\theta\) un réel. On considère le complexe z défini par \(z = r\text{e}^{\text{i}\theta}\).
- Montrer que \(z’ = \frac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi – \theta)}\).
- Est-il vrai que si un point M, distinct de O, appartient au disque de centre O et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre O et de rayon 1, alors son image M’ par la fonction f est à l’extérieur de ce disque ? Justifier.
- Soit le cercle \(\Gamma\) de centre K d’affixe \(z_{\text{K}} = -\frac{1}{2}\) et de rayon \(\frac{1}{2}\).
- Montrer qu’une équation cartésienne du cercle \(\Gamma\) est \(x^2 + x + y^2 = 0\).
- Soit \(z = x + \text{i}y\) avec x et y non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de z’ en fonction de x et y.
- Soit M un point, distinct de O, du cercle \(\Gamma\). Montrer que l’image M’ du point M par la fonction f appartient à la droite d’équation x = 1.
Métropole, septembre 2017
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{u},\vec{v})\) . À tout point M d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe:$$z’ = – z^2 + 2z.$$ Le point M’ est appelé image du point M.
- Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :$$ z^2 + 2z – 2 = 0.$$En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe 2.
- Soit M un point d’affixe z et M’ son image d’affixe z‘. On note N le point d’affixe \(z_N = z^2\). Montrer que M est le milieu du segment [NM’].
- Dans cette question, on suppose que le point M ayant pour affixe z, appartient au cercle \(\mathcal{C}\) de centre O et de rayon 1. On note \(\theta\) un argument de z.
- Déterminer le module de chacun des nombres complexes z et \(z_N\), ainsi qu’un argument de \(z_N\) en fonction de \(\theta\).
- Sur la figure donnée en annexe (voir fin de l’exercice), on a représenté un point M sur le cercle \(\mathcal{C}\). Construire sur cette figure les points N et M’ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).
- Soit A le point d’affixe 1. Quelle est la nature du triangle AMM’ ?
Vous pourrez trouver les sources \(\LaTeX\) ainsi que le PDF ci-dessous:
