Pourquoi le volume d’une sphère est égal à \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ? Explications avec les intégrales

volume sphère intégrale

Pourquoi le volume d’une sphère est égal à \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ? Explications avec les intégrales

Volume d’une sphère avec une intégrale. Ceci est une sphère:

sphère

Si l’on considère que son rayon est égal à R alors son volume est \(\frac{4}{3}\pi R^3\)… mais pourquoi ?

Plaçons-nous dans un repère orthonormé de l’espace et plaçons-y notre sphère de sorte que son centre coïncide avec l’origine du repère :

Nous avons aussi introduit un point A de coordonnées (0;0;z), où z varie de –R à +R. Nous avons ensuite considéré le disque de centre A et de rayon r(z), section de la sphère et du plan passant par A et parallèle au plan (xOy).

Le volume de la sphère n’est autre que la somme des aires des disques pour z variant de –R à +R, somme infinitésimale donc que l’on peut prendre comme une intégrale:$$\mathcal{V}=\int_{-R}^{+R}\pi r(z)^2\text{d}z.$$

Il ne reste plus qu’à trouver l’expression de r(z)… et ce n’est pas trop compliqué car d’après le théorème de Pythagore, dans le triangle AOB:$$OB^2=OA^2+AB^2$$soit:$$R^2=z^2+r(z)^2$$d’où:$$r(z)^2=R^2-z^2.$$

Ça, c’est fait ! Il faut maintenant se pencher sur le calcul de l’intégrale:$$\begin{align}\mathcal{V}&=\pi\int_{-R}^{+R}(R^2-z^2)\text{d}z\\&=\pi\left[R^2z – \frac{1}{3}z^3\right]_{-R}^{+R}\\&=\pi\left[\left(R^3-\frac{1}{3}R^3\right) – \left(-R^3+\frac{1}{3}R^3\right)\right]\\&= \frac{4}{3}\pi R^3.\end{align}$$

On obtient alors la formule connue des collégiens ! Mystère résolu !

Stéphane Pasquet
Stéphane Pasquet

1 réflexion au sujet de « Pourquoi le volume d’une sphère est égal à \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ? Explications avec les intégrales »

bertrandPublié le  10:17 - Déc 21, 2020

Pourquoi avoir introduit la variable h qui n’est définit nulle part ? Pour la compréhension de la démonstration, n’aurait-il pas été mieux de garder z ?

Axel Chambily – CasadesusPublié le  11:38 - Fév 9, 2021

Les variables d’intégration sont muettes.

    Stéphane Pasquet

    Stéphane PasquetPublié le  9:14 - Fév 10, 2021

    Oui, c’était pour ça qu’au premier jet de l’article, je m’étais dit que je pouvais mettre ce que je voulais, mais pédagogiquement, il était tout de même préférable d’utiliser la même variable

Un inconnu gentilPublié le  6:48 - Mar 21, 2021

Merci! Je veux dix milles sites comme ça

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