volume sphère intégrale

Pourquoi le volume d’une sphère est égal à \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ? Explications avec les intégrales

Volume d’une sphère avec une intégrale. Ceci est une sphère:

sphère

Si l’on considère que son rayon est égal à R alors son volume est \(\frac{4}{3}\pi R^3\)… mais pourquoi ?

Plaçons-nous dans un repère orthonormé de l’espace et plaçons-y notre sphère de sorte que son centre coïncide avec l’origine du repère :

Nous avons aussi introduit un point A de coordonnées (0;0;z), où z varie de –R à +R. Nous avons ensuite considéré le disque de centre A et de rayon r(z), section de la sphère et du plan passant par A et parallèle au plan (xOy).

Le volume de la sphère n’est autre que la somme des aires des disques pour z variant de –R à +R, somme infinitésimale donc que l’on peut prendre comme une intégrale:$$\mathcal{V}=\int_{-R}^{+R}\pi r(z)^2\text{d}z.$$

Il ne reste plus qu’à trouver l’expression de r(z)… et ce n’est pas trop compliqué car d’après le théorème de Pythagore, dans le triangle AOB:$$OB^2=OA^2+AB^2$$soit:$$R^2=z^2+r(z)^2$$d’où:$$r(z)^2=R^2-z^2.$$

Ça, c’est fait ! Il faut maintenant se pencher sur le calcul de l’intégrale:$$\begin{align}\mathcal{V}&=\pi\int_{-R}^{+R}(R^2-z^2)\text{d}z\\&=\pi\left[R^2z – \frac{1}{3}z^3\right]_{-R}^{+R}\\&=\pi\left[\left(R^3-\frac{1}{3}R^3\right) – \left(-R^3+\frac{1}{3}R^3\right)\right]\\&= \frac{4}{3}\pi R^3.\end{align}$$

On obtient alors la formule connue des collégiens ! Mystère résolu !

Cet article a 5 commentaires

  1. bertrand

    Pourquoi avoir introduit la variable h qui n’est définit nulle part ? Pour la compréhension de la démonstration, n’aurait-il pas été mieux de garder z ?

    1. En effet, c’est plus clair.

  2. Axel Chambily - Casadesus

    Les variables d’intégration sont muettes.

    1. Oui, c’était pour ça qu’au premier jet de l’article, je m’étais dit que je pouvais mettre ce que je voulais, mais pédagogiquement, il était tout de même préférable d’utiliser la même variable

  3. Un inconnu gentil

    Merci! Je veux dix milles sites comme ça

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