Les différentes moyennes
EDF souhaite augmenter ses tarifs de 30 % sur 5 ans, soit une augmentation moyenne de 6 % par an.
C’est à peu près ce que j’ai pu entendre il y a quelques années sur beaucoup de chaînes de télévision de la part de certains journalistes. Et cela m’a un peu fait mal aux oreilles car ce n’est pas correct, et pour s’en rendre compte, il est nécessaire de revenir sur la notion de moyenne…
Les différentes formes canoniques
En mathématiques, l’adjectif “canonique” sous-entend “plus simple” (pour effectuer certaines opérations).
Il est souvent introduit pour une certaine forme des polynômes du second degré en lycée, mais il peut aussi qualifier des formes d’autres fonctions.
L’existence de Pi
À l’école primaire, les élèves prennent connaissance de l’existence d’un nombre mystérieux nommé “Pi” et noté par la lettre grecque “\(\pi\)” par Archimède, en rapport avec l’initiale du mot “\(\pi\varepsilon\rho\iota\mu\varepsilon\tau\rho o\zeta\)” (“périmètre” en français).
À ce stade de l’apprentissage, les professeurs des écoles disent que la valeur de Pi est 3,14 et j’espère qu’ils ajoutent que ce n’est qu’une valeur approchée de ce nombre qui admet une partie décimale infinie. D’ailleurs, tout nombre qui ne peut pas s’écrire entièrement est désigné par une lettre ou autre chose de “rapide à écrire” et c’est la raison pour laquelle Pi est désigné par une lettre : on ne peut pas l’écrire en entier.
On définit le nombre \(\pi\) comme étant le rapport constant entre le périmètre d’un cercle et son diamètre (il faut entendre ici : dans le plan euclidien). Mais pourquoi ce rapport est-il constant ? Comment a-t-on pu démontrer que \(\pi\) existait ? Nous allons le voir ici …
Équations polynomiales de degré 3
Considérons l’équation polynomiale de degré 3 suivante : \[ ax^3+bx^2+cx+d=0.\qquad(1) \]
Ce dont nous pouvons être assuré.e.s, c’est qu’elle admet au moins une solution réelle. En effet, la fonction : \[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]
est continue sur \(\mathbb{R}\) et, de plus, \[ \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty} (ax^3)=\text{sgn}(-a)\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} (ax^3)=\text{sgn}(a)\infty\end{array}\right.\]
où \(\text{sgn}(a)\) désigne le signe de a.
Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution sur \(\mathbb{R}\).
Circonscrire un polygone : la constante de Kasner-Newman
Dans les années 1940, les mathématiciens Edward Kasner et James Roy Newman découvrirent une constante :
\[ R=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\times\cdots} \]
que l’on peut aussi écrire : \[ R=\prod_{n\geq3}\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}.\]
Ils découvrirent cette constante de la manière suivante : on construit successivement :
- un cercle de rayon r;
- le triangle équilatéral circonscrit à ce cercle;
- le cercle circonscrit au triangle équilatéral;
- le carré circonscrit au dernier cercle;
- le cercle circonscrit au carré;
- le pentagone régulier circonscrit au dernier cercle;
- le cercle circonscrit au pentagone;
- l’hexagone circonscrit au dernier cercle;
- etc.
En observant le rayon des cercles, on s’aperçoit que l’on se rapproche de plus en plus d’une valeur proportionnelle à R (définie précédemment).
Créer des animations GIF avec Geogebra : mission impossible ?
Geogebra n’est plus à présenter. Ce logiciel de géométrie (entre autre) permet quelque fois de présenter en cours des choses plutôt sympas.
Dans cet article, je vais prendre pour prétexte une activité que j’avais proposée à mes élèves de 6ème afin de créer une animation et au final, un Gif.
Démontrer une absurdité en mathématiques
Il y a beaucoup de personnes qui aiment ce genre de problèmes : démontrer quelque chose que l’on sait faux avec une preuve qui a l’air vraie… Enfin… Qui a l’air vrai si l’on a pas les connaissances pour voir où est l’erreur.
Réflexions sur un meilleur enseignement des mathématiques
J’enseigne à domicile depuis très longtemps… avant même de devenir titulaire de l’Education Nationale.
À mes débuts, je n’avais pas beaucoup de difficultés à transmettre mon savoir, mais je constate depuis quelques années un changement dans le comportement des élèves que j’ai en face de moi. Il est donc naturel de réfléchir à une nouvelle façon d’enseigner les mathématiques.
Chiffrement affine en Python
Le chiffrement affine est une méthode de chiffrement basée sur les fonctions affines… Mouais !
En d’autres termes, si x est le code d’une lettre sur un alphabet déterminé alors cette dernière sera transformée en une autre lettre dont le code est égal à ax+b mod n (où n est le nombre de caractères de l’alphabet choisi et où a et b sont deux entiers strictement inférieurs à n).
Les packages LaTeX indispensables pour les profs de maths
Quand on est prof de math, très souvent, on est amené à devoir créer des documents (devoirs, cours, fiches, etc.). Je pense qu’il y a de plus en plus de profs qui utilisent le langage latex (bien écrit, cela donne : \(\LaTeX\)) et quand on se lance dans ce langage, on n’a pas nécessairement tous les outils pour créer de beaux documents. Voici donc ici une liste non exhaustive des packages que je peux conseiller.
Bien entendu, cela n’engage que moi.
Je complète au fur et à mesure la page des ressources #Python3 ... C'est assez intéressant... https://www.mathweb.fr/euclide/ressources-python/
Récursivité & programmation dynamique. Ce ne sont pas des cours à proprement parlé, juste des résumés. #Python3 https://www.mathweb.fr/euclide/recursivite-et-programmation-dynamique/
