Les différentes moyennes

EDF souhaite augmenter ses tarifs de 30 % sur 5 ans, soit une augmentation moyenne de 6 % par an.

C’est à peu près ce que j’ai pu entendre il y a quelques années sur beaucoup de chaînes de télévision de la part de certains journalistes. Et cela m’a un peu fait mal aux oreilles car ce n’est pas correct, et pour s’en rendre compte, il est nécessaire de revenir sur la notion de moyenne…

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L’existence de Pi

À l’école primaire, les élèves prennent connaissance de l’existence d’un nombre mystérieux nommé « Pi » et noté par la lettre grecque « \(\pi\) » par Archimède, en rapport avec l’initiale du mot  « \(\pi\varepsilon\rho\iota\mu\varepsilon\tau\rho o\zeta\) » (« périmètre » en français).

À ce stade de l’apprentissage, les professeurs des écoles disent que la valeur de Pi est 3,14 et j’espère qu’ils ajoutent que ce n’est qu’une valeur approchée de ce nombre qui admet une partie décimale infinie. D’ailleurs, tout nombre qui ne peut pas s’écrire entièrement est désigné par une lettre ou autre chose de « rapide à écrire » et c’est la raison pour laquelle Pi est désigné par une lettre : on ne peut pas l’écrire en entier.

On définit le nombre \(\pi\) comme étant le rapport constant entre le périmètre d’un cercle et son diamètre (il faut entendre ici : dans le plan euclidien). Mais pourquoi ce rapport est-il constant ? Comment a-t-on pu démontrer que \(\pi\) existait ? Nous allons le voir ici …

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equation degré 3

Équations polynomiales de degré 3

Les équations polynomiales de degré 3 sont de la forme : \[  ax^3+bx^2+cx+d=0.\qquad(1) \]

Ce dont nous pouvons être assuré.e.s, c’est qu’elle admet au moins une solution réelle. En effet, la fonction : \[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]

est continue sur \(\mathbb{R}\) et, de plus, \[ \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty} (ax^3)=\text{sgn}(-a)\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} (ax^3)=\text{sgn}(a)\infty\end{array}\right.\]

où \(\text{sgn}(a)\) désigne le signe de a.

Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution sur \(\mathbb{R}\).

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Circonscrire un polygone : la constante de Kasner-Newman

Dans les années 1940, les mathématiciens Edward Kasner et James Roy Newman découvrirent une constante :
\[ R=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\times\cdots} \]
que l’on peut aussi écrire : \[ R=\prod_{n\geq3}\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}.\]

Ils découvrirent cette constante de la manière suivante : on construit successivement :

  1. un cercle de rayon r;
  2. le triangle équilatéral circonscrit à ce cercle;
  3. le cercle circonscrit au triangle équilatéral;
  4. le carré circonscrit au dernier cercle;
  5. le cercle circonscrit au carré;
  6. le pentagone régulier circonscrit au dernier cercle;
  7. le cercle circonscrit au pentagone;
  8. l’hexagone circonscrit au dernier cercle;
  9. etc.

En observant le rayon des cercles, on s’aperçoit que l’on se rapproche de plus en plus d’une valeur proportionnelle à R (définie précédemment).

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Chiffrement affine en Python

Le chiffrement affine est une méthode de chiffrement basée sur les fonctions affines… Mouais !

En d’autres termes, si x est le code d’une lettre sur un alphabet déterminé alors cette dernière sera transformée en une autre lettre dont le code est égal à ax+b mod n (où n est le nombre de caractères de l’alphabet choisi et où a et b sont deux entiers strictement inférieurs à n).

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Les packages LaTeX indispensables pour les profs de maths

Packages LaTeX pour les maths : quand on est prof de maths, très souvent, on est amené à devoir créer des documents (devoirs, cours, fiches, etc.). Je pense qu’il y a de plus en plus de profs qui utilisent le langage latex (bien écrit, cela donne : \(\LaTeX\)) et quand on se lance dans ce langage, on n’a pas nécessairement tous les outils pour créer de beaux documents. Voici donc ici une liste non exhaustive des packages que je peux conseiller.

Bien entendu, cela n’engage que moi.

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