Archive mensuelle 6 septembre 2018

Aire entre trois cercles tangents

Cet article a pour objectifs de construire trois cercles tangents de rayons différents et de calculer l’aire du domaine compris entre ces trois cercles.

Triangle orthique et problème de Fagnano

Giulio Fagnano était un mathématicien italien de la fin du XVIIe siècle.

Il a probablement été le premier à s’être intéressé à la théorie des intégrales elliptiques, mais ce n’est pas l’objet de cet article.

Le problème connu sous le nom de problème de Fagnano est le suivant :

Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle ?

Mettre une croix dans une cellule de tableau en LaTeX

Insérer une croix dans une cellule de tableau LaTeX, c’est une question qui est souvent posée. Les tableaux en \(\LaTeX\) peuvent être quelques fois une vraie galère.

Parmi les questions les plus problématiques, il y a cette fameuse croix à mettre dans une cellule pour indiquer qu’il n’y a rien à l’intérieur.

Je vous propose une méthode pour y arriver.

graphiques 3D PythonTeX

Graphiques 3D avec Pythontex sous LaTeX

Graphiques 3D et PythonTeX : la prise en main et l’installation de Pythontex peut s’avérer assez fastidieuse quand on s’y met. Par expérience, je peux vous dire que la tâche est encore plus difficile sous Ubuntu quand on est novice (et je le suis !). C’est une des raisons pour lesquelles je n’ai pas souhaité resté sous Ubuntu pour me remettre à Windows.

Une fois Pythontex installé, je pense qu’il est légitime de vouloir l’exploiter à fond, y compris pour faire des choses qu’avec \(\LaTeX\) seul il est difficile de faire. Parmi ces choses,il y a les graphiques, et plus particulièrement les graphiques 3D (car les courbes 2D, PGF sait le faire facilement).

Le théorème de Pick

On considère un polygone convexe, c’est-à-dire une figure géométrique constituée de plusieurs côtés rectilignes de sorte qu’aucun sommet ne “rentre”  dans la figure, sur un maillage régulier de sorte que chaque sommet soit sur un nœudde ce maillage comme l’illustre le schéma ci-dessous.

Le théorème de Pick stipule que la superficie du polygone peut être calculée de façon simple à l’aide de la formule :  \[ \mathcal{A}=i+\frac{b}{2}-1\]
exprimée en unités d’aire, où “i” représente le nombre de nœuds intérieurs au polygone et “b” celui des nœuds se trouvant sur ses côtés.

théorème de Viviani

Le théorème de Viviani

Le théorème de Viviani stipule que : “dans un triangle équilatéral, la somme des distances d’un point intérieur quelconque aux trois côtés est constante.”

théorème de Viviani

Autrement dit, quelle que soit la position du point M dans le triangle ABC, \[ \text{MS}+\text{MQ}+\text{MO} = \text{constante}.\]

La méthode de Hörner

Considérons un polynôme P, dont une racine est égale à a.

La méthode de Hörner va nous permettre de trouver les coefficients du polynôme Q tel que : \[P(x)=(x-a)Q(x).\]

Bien entendu, il existe d’autres méthodes, comme la division euclidienne de polynômes ou encore la méthode des coefficients indéterminés, mais nous allons voir que la méthode de Hörner a deux avantages sur les autres : sa rapidité et le fait que l’on puisse la programmer aisément.

Longueur d’une bissectrice dans un triangle

Longueur d’une bissectrice dans un triangle: considérons un triangle quelconque ABC ; posons alors AB = c, AC = et BC = a.

Posons \(\ell\) la longueur de la bissectrice issue de C ; alors, on a:

Longueur d'une bissectrice dans un triangle

Démontrons ce résultat…